Simplificar fracciones

Reducí una fracción a su forma irreducible. La herramienta calcula el máximo común divisor con el algoritmo de Euclides y muestra la división paso a paso.

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Cómo usarla

Escribí el numerador (número entero).
Escribí el denominador (entero distinto de 0).
Tocá Calcular: si el máximo común divisor es 1, la fracción ya era irreducible.

La fórmula

a/b = (a ÷ mcd) / (b ÷ mcd), donde mcd es el máximo común divisor de a y b.

El algoritmo de Euclides divide el mayor entre el menor y repite con el divisor y el resto hasta que el resto es 0. El último resto distinto de 0 es el mcd.

Ejemplos resueltos

30 asientos ocupados de 45

En una sala hay 45 asientos y 30 están ocupados. ¿Qué fracción de la sala está ocupada, escrita de la forma más simple?

Numerador: 30
Denominador: 45

Euclides: 45 = 30 × 1 + 15, y después 30 = 15 × 2 + 0. El último resto distinto de cero es 15, así que mcd = 15. Se dividen ambos términos: 30 ÷ 15 = 2 y 45 ÷ 15 = 3.

Resultado: 2/3. Dos de cada tres asientos están ocupados.

Comprobación: al multiplicar por el mcd se vuelve al original: 2 × 15 = 30 y 3 × 15 = 45. Y 2 y 3 no tienen divisores comunes mayores que 1, por lo tanto 2/3 es irreducible.

Números grandes: 252 minutos de 396

Una tarea de 396 minutos lleva hechos 252 minutos. ¿Qué fracción está completa?

Numerador: 252
Denominador: 396

Con números así, adivinar el divisor común es difícil. Si dividís por 2 obtenés 126/198, que sigue siendo reducible; por 2 otra vez, 63/99, que todavía se puede dividir entre 9. Euclides lo resuelve de una:

396 = 252 × 1 + 144
252 = 144 × 1 + 108
144 = 108 × 1 + 36
108 = 36 × 3 + 0

El último resto distinto de cero es 36, el mcd. Entonces 252 ÷ 36 = 7 y 396 ÷ 36 = 11.

Resultado: 7/11, aproximadamente el 63,6 % de la tarea (como decimal es periódico: 0,63636…, por eso es una aproximación).

Comprobación por factorización: 252 = 2² × 3² × 7 y 396 = 2² × 3² × 11. Lo que comparten es 2² × 3² = 36. Lo que queda, 7 y 11, no tiene factores comunes.

Observación: cuando la herramienta indica mcd = 1, la fracción ya estaba simplificada, como ocurre con 7/13.

Dudas puntuales

¿Por qué simplificar no cambia el valor de la fracción?

Porque dividir numerador y denominador por el mismo número equivale a multiplicar la fracción por 1. En 30/45 = (2 × 15)/(3 × 15), el factor 15/15 vale 1, así que 30/45 y 2/3 son la misma cantidad escrita con números más chicos. Ambas dan 0,666… al dividir.

¿Cómo sé que ya no se puede reducir más?

Cuando el mcd es 1. No hace falta probar divisores uno por uno: Euclides siempre llega al mcd, y si da 1 la fracción es irreducible. Ojo con una trampa frecuente: que ningún número sea par no garantiza que sea irreducible. En 21/35 ambos son impares, pero el mcd es 7 y la fracción se reduce a 3/5.

¿Qué hace con fracciones negativas, con numerador 0 o mayores que 1?

Con negativos conserva el signo y lo ubica en el numerador: −6/8 y 6/−8 dan −3/4. Con numerador 0 explica que la fracción vale 0 sea cual sea el denominador (0/7 es 0). Si el numerador es mayor que el denominador, simplifica igual: 14/7 da 2, con mcd 7. Los números deben ser enteros entre −1.000.000 y 1.000.000, y el denominador no puede ser 0.

Errores habituales

Dividir por un divisor común más chico y detenerse. 18/24 ÷ 2 = 9/12 todavía se puede simplificar; con el mcd se llega en un solo paso.
Tachar términos de una suma. Solo se simplifican factores comunes: en (2 + 3)/2 no se puede «cancelar» el 2.
Cambiar solo el numerador o solo el denominador. Siempre hay que dividir los dos entre el mismo número.